线性规划模型的目标函数取最小值的情况，需从模型结构、约束条件、可行解特性及求解方法等角度综合分析。以下是具体条件与解释： ### **1. 目标函数方向与约束条件的匹配** - **目标函数形式**：若目标函数为 **\( \min z = c_1x_1 + c_2x_2 + \dots + c_nx_n \)**，则需通过调整变量 \( x_i \) 的取值使 \( z \) 最小化。 - **约束条件影响**： - **资源限制**：当约束条件（如 \( a_{i1}x_1 + a_{i2}x_2 + \dots + a_{in}x_n \leq b_i \)）限制了变量的增长空间时，目标函数可能因变量无法无限增大而被迫取最小值。 - **非负约束**：变量 \( x_i \geq 0 \) 的限制可能使目标函数在可行域的边界（如原点或约束交点）处取得最小值。 ### **2. 可行解的存在性与有界性** - **可行解存在**：模型必须有至少一个可行解（即满足所有约束条件的解），否则目标函数无最小值（问题无解）。 - **可行域有界**：若可行域是封闭且有界的（如多边形或多面体），目标函数的最小值一定存在，且出现在可行域的顶点上（根据线性规划基本定理）。 - **可行域无界但目标函数有下界**：即使可行域无界（如 \( x_1 \geq 0 \) 无上限），若目标函数系数 \( c_i \) 的组合使得 \( z \) 不会无限减小（如 \( c_i \geq 0 \) 且存在非零约束），则最小值仍可能存在。 ### **3. 目标函数系数的符号与方向** - **系数全非负**：若目标函数中所有系数 \( c_i \geq 0 \)，且变量 \( x_i \geq 0 \)，则最小值通常出现在原点 \( (0, 0, \dots, 0) \)（若原点可行）。 - **系数有正有负**：需通过约束条件限制变量的取值范围。例如： - 若 \( c_1 < 0 \) 但 \( x_1 \) 受约束 \( x_1 \leq M \)，则 \( x_1 \) 取最大值 \( M \) 时 \( z \) 可能最小（需结合其他变量分析）。 - 若 \( c_1 > 0 \) 且 \( x_1 \) 无下限约束，则 \( z \) 可能无最小值（除非其他约束限制 \( x_1 \)）。 ### **4. 特殊情况分析** - **无可行解**：约束条件矛盾（如 \( x_1 \leq 1 \) 和 \( x_1 \geq 2 \) 同时存在），目标函数无最小值。 - **无界解**：若可行域无界且目标函数可无限减小（如 \( \min z = -x_1 \)，且 \( x_1 \) 无上限约束），则最小值为负无穷。 - **多重最优解**：当目标函数与某约束边界平行时，最小值可能出现在一条线段或平面上，存在无限多个最优解。 ### **5. 求解方法验证** - **图解法（二维）**：通过绘制约束条件确定可行域，观察目标函数等值线与可行域的交点，最低交点即为最小值。 - **单纯形法**：通过迭代优化顶点解，最终得到最小值（若存在）。若算法检测到无界解或无可行解，则最小值不存在。 ### **示例说明** **模型1（有最小值）**： \[ \begin{align*} \min \quad & z = 2x_1 + 3x_2 \\ \text{s.t.} \quad & x_1 + x_2 \leq 4, \\ & x_1 \geq 0, \quad x_2 \geq 0. \end{align*} \] - 可行域为三角形，顶点为 \( (0,0) \)、\( (4,0) \)、\( (0,4) \)。 - 计算 \( z \) 值：\( 0 \)、\( 8 \)、\( 12 \)，最小值为 \( 0 \)（在原点取得）。 **模型2（无最小值）**： \[ \begin{align*} \min \quad & z = -x_1 \\ \text{s.t.} \quad & x_1 \geq 0. \end{align*} \] - 可行域为 \( x_1 \in [0, +\infty) \)，\( z \) 可无限减小至负无穷，无最小值。 ### **结论** 线性规划模型的目标函数取最小值的条件为： 1. **存在可行解**； 2. **可行域有界，或目标函数在可行域内有下界**； 3. **通过约束条件限制变量取值，使目标函数无法无限减小**。 实际应用中，需通过建模技巧（如引入松弛变量、调整目标函数方向）确保问题满足上述条件，从而保证最小值的存在性与可求解性。
