在线性规划中，将**max**问题转换为标准形式时，目标函数变为负数（即转换为**min**问题），而约束条件通常不需要更改正负，但需通过引入松弛变量或剩余变量将其统一为等式约束。以下是详细解释： ### **1. 目标函数：从max到min的转换** - **标准形式要求**：线性规划的标准形式通常要求目标函数为**最大化（max）**。若原问题为**最小化（min）**，可通过以下方式转换： - 设原目标函数为 $\min z = c_1x_1 + c_2x_2 + \cdots + c_nx_n$。 - 令 $z' = -z$，则原问题等价于 $\max z' = -c_1x_1 - c_2x_2 - \cdots - c_nx_n$。 - **关键点**：转换后目标函数的系数变为原系数的相反数，但约束条件保持不变。 ### **2. 约束条件：统一为等式约束** - **标准形式要求**：所有约束条件需转化为等式（$=$），且右端常数项非负（$b_i \geq 0$）。 - **转换方法**： - **对于 $\leq$ 约束**：引入**松弛变量**（非负变量 $s_i \geq 0$），将不等式转化为等式。 - 示例：$a_1x_1 + a_2x_2 \leq b$ → $a_1x_1 + a_2x_2 + s_i = b$。 - **对于 $\geq$ 约束**：引入**剩余变量**（非负变量 $e_i \geq 0$），将不等式转化为等式。 - 示例：$a_1x_1 + a_2x_2 \geq b$ → $a_1x_1 + a_2x_2 - e_i = b$。 - **对于等式约束**：直接保留，但需确保右端常数项非负。若 $b_i < 0$，则两边乘以 $-1$ 并调整不等号方向。 ### **3. 约束条件是否需要更改正负？** - **无需直接更改正负**：约束条件的转换是通过引入变量（松弛变量或剩余变量）实现的，而非直接修改原不等式的方向。 - **$\leq$ 约束**：通过加松弛变量转化为等式，不涉及不等号方向改变。 - **$\geq$ 约束**：通过减剩余变量转化为等式，不等号方向隐含在剩余变量的符号中（因 $e_i \geq 0$，故原约束等价于 $a_1x_1 + a_2x_2 \geq b$）。 - **等式约束**：若右端常数项为负，需两边乘以 $-1$ 并调整不等号方向（但此时约束已为等式，仅需确保 $b_i \geq 0$）。 ### **4. 示例说明** **原问题**： $$ \begin{align*} \min z &= 2x_1 - 3x_2 \\ \text{s.t.} \quad x_1 + x_2 &\leq 4 \\ 2x_1 - x_2 &\geq 1 \\ x_1, x_2 &\geq 0 \end{align*} $$ **转换为标准形式**： 1. **目标函数**： $$ \max z' = -2x_1 + 3x_2 \quad (\text{令 } z' = -z) $$ 2. **约束条件**： - 对于 $x_1 + x_2 \leq 4$，引入松弛变量 $s_1 \geq 0$： $$ x_1 + x_2 + s_1 = 4 $$ - 对于 $2x_1 - x_2 \geq 1$，引入剩余变量 $e_1 \geq 0$： $$ 2x_1 - x_2 - e_1 = 1 $$ - 非负约束：$x_1, x_2, s_1, e_1 \geq 0$。 **最终标准形式**： $$ \begin{align*} \max z' &= -2x_1 + 3x_2 \\ \text{s.t.} \quad x_1 + x_2 + s_1 &= 4 \\ 2x_1 - x_2 - e_1 &= 1 \\ x_1, x_2, s_1, e_1 &\geq 0 \end{align*} $$
