对于积分 $\int x \sin nx \, dx$，我们可以使用积分技巧中的“乘法法则”的逆过程，即分部积分法（Integration by Parts）来求解。 分部积分法的基本公式是： $$\int u \, dv = uv - \int v \, du$$ 在这个问题中，我们可以令 $u = x$ 和 $dv = \sin nx \, dx$。 首先，找到 $u$ 和 $v$ 的导数或原函数： $$du = dx, \quad v = -\frac{1}{n} \cos nx$$ （注意：这里 $v$ 是 $\sin nx$ 的一个原函数，通过积分 $\int \sin nx \, dx = -\frac{1}{n} \cos nx + C$ 得到，其中 $C$ 是积分常数，但在分部积分法中通常可以忽略。） 然后，应用分部积分法公式： $$\int x \sin nx \, dx = -\frac{1}{n} x \cos nx - \int \left( -\frac{1}{n} \right) \cos nx \, dx$$ 化简得： $$\int x \sin nx \, dx = -\frac{1}{n} x \cos nx + \frac{1}{n} \int \cos nx \, dx$$ 再次应用基本积分公式，$\int \cos nx \, dx = \frac{1}{n} \sin nx + C$（其中 $C$ 是积分常数）： $$\int x \sin nx \, dx = -\frac{1}{n} x \cos nx + \frac{1}{n} \left( \frac{1}{n} \sin nx + C \right)$$ 由于 $C$ 是任意常数，我们可以将其与前面的 $\frac{1}{n}$ 合并为一个新的任意常数（通常仍记作 $C$）： $$\int x \sin nx \, dx = -\frac{1}{n} x \cos nx + \frac{1}{n^2} \sin nx + C$$
